Question

17．如图，在⊙O中，弦AB=弦CD，AB⊥CD于点E，且AE＜EB，CE＜ED，连结AO，DO，BD．
（1）求证：EB=ED．
（2）若AO=6，求$\widehat{AD}$的长．

Answer 1

分析 （1）由AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，即$\widehat{AC}$+$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$+$\widehat{AD}$，那么$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，根据圆周角定理得到∠CDB=∠ABD，利用等角对等边得出EB=ED；
（2）先求出∠CDB=∠ABD=45°，再根据圆周角定理得出∠AOB=90°．又AO=6，代入弧长公式计算即可求解．

解答 （1）证明：∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，即$\widehat{AC}$+$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$+$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∵$\widehat{BC}$、$\widehat{AD}$所对的圆周角分别为∠CDB，∠ABD，
∴∠CDB=∠ABD，
∴EB=ED；

（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠CDB=∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°．
∵AO=6，
∴$\widehat{AD}$的长=$\frac{90π×6}{180}$=3π．

点评 本题考查了弧长的计算，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，证明出∠CDB=∠ABD是解题的关键．