Question

5．（1）设a∈R，求证：抛物线y=x²+（a+2）x-2a+1都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物线上．
（2）若关于x的方程x²+（a+2）x-2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²+（a+2）x-2a+1，将其进行转化为x²+2x+1+a（x-2），由于该函数经过定点，则与a值无关，所以x=2，将其代入抛物线解析式求得相应的y值即可得到该定点坐标，利用抛物线顶点坐标公式得到y与x的函数关系；
（2）利用求根公式求得该方程的较大根，结合二次根式的性质和根的判别式来求其取值范围．

解答 解：（1）令f（x）=x²+（a+2）x-2a+1=x²+2x+1+a（x-2），
∵抛物线y=x²+（a+2）x-2a+1都经过一个定点，
∴x-2=0即x=2，
把x=2代入得到：y=2²+2×2+1=9，
即该抛物线过定点  （2，9），该抛物线的顶点坐标为x=-$\frac{a+2}{2}$，y=$\frac{4（1-2a）-（a+2）^{2}}{4}$=-$\frac{{a}^{2}+12a}{4}$
消去a，得y=-x²+4x+5，
即顶点都落在一条抛物线y=-x²+4x+5上．

（2）关于x的方程x²+（a+2）x-2a+1=0的大根为：
x=$\frac{-（a+2）+\sqrt{（a+2）^{2}-4（1-2a）}}{2}$，
=$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+12}}{2}$，
=$\frac{-（a+2）+\sqrt{（a+6）^{2}-36}}{2}$．
令a+6=2k，则
x=$\frac{-（2k-4）+\sqrt{4{k}^{2}-36}}{2}$=$\sqrt{{k}^{2}-9}$-k+2．
由判别式△=（a+2）²-4（-2a+1）＞0得：k＞3或k＜-3．
当k＜-3时，x＞5；
当k＞3时，x=2-$\frac{9}{\sqrt{{k}^{2}-9}+k}$，可得-1＜x＜2．
综上可得，方程的大根x的取值范围为（-1，2）∪（5，+∞）．

点评 本题主要考查了一元二次方程根的分布问题的解法，方程的根与函数零点间的关系，二次函数的图象和性质，转化化归数形结合的思想方法．