Question

4．阅读下列材料：
如图1，在线段AB上找一点C（AC＞BC），若BC：AC=AC：AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，这时比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.618，人们把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作EF⊥OE，且EF=$\frac{1}{2}$OE，连接OF；以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．
根据材料回答下列问题：
（1）线段OP长为$\sqrt{5}-1$，点P在数轴上表示的数为$\sqrt{5}$-1；
（2）在（1）中计算线段OP长的依据是勾股定理．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到OF=$\sqrt{O{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根据线段的和差即可得到结论；
（2）根据勾股定理求得OF，再由线段的和差求得OP，于是得到结论．

解答 解：（1）∵OE=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$OE=1，
∵EF⊥OE，
∴OF=$\sqrt{O{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由作法知，FH=EF=1，OP=OH=OF-FH=$\sqrt{5}$-1，
∴点P在数轴上表示的数为：$\sqrt{5}$-1，
故答案为：$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1；
（2）在（1）中计算线段OP长时，
首先根据勾股定理求得OF，
再由OP=OH=OF-FH求得OP，
故答案为：勾股定理．

点评 本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．