Question

5．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将对角线BD向两个相反的方向延长，分别至点E与点F，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若∠AEC是锐角，求BE的长的取值范围S．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，证出OE=OF，得出四边形AECF是平行四边形，由AC⊥BD，即可得出四边形AECF是菱形．
（2）先证明△ABD是等边三角形，得出BD=AB=2，得出OB=$\frac{1}{2}$BD=1，由勾股定理求出OA，得出AC，当∠AEC=90°时，△ACE是等腰直角三角形，得出BE=$\sqrt{3}$-1，若∠AEC是锐角，即可得出BE的长的取值范围．

解答 （1）证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
当∠AEC=90°时，△ACE是等腰直角三角形，
∵AC⊥BD，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{3}$-1，
∴若∠AEC是锐角，BE的长的取值范围S＞$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．