Question

9．如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD．
（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
①依题意补全图1；
②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；
（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）①根据题意画图即可；
②连接AC，证明△BCD≌△ACE即可；
（2）连接DE，可证三角形ADE为直角三角形，由勾股定理即可得出结论；
（3）将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF，EA，证明△BCF≌△ACE和直角三角形AEF，结合勾股定理即可证明．

解答 解：（1）①补全图形如图1，

②判断AE=BD，
证明：如图2

连接AC，
∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE；
（2）结论：DA²+DC²=DB²；
（3）结论：FA²+FC²=FB²或BF²=AF²+CF²+$\sqrt{3}$AF•CF．
证明：①如图3，

连接AC，
∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，
将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF，EA，
∴CE=CF，∠FCE=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE=60°，FE=FC，
∴∠BCF=∠ACE，
在△BCF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCF=∠ACE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACE，
∴FB=AE，
∵∠AFC=150°，∠CFE=60°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AEF中，FA²+FE²=AE²，
∴FA²+FC²=FB²．

②如图当∠AFC=150°，作等边三角形FCE，连接AC、AE．
同理可证△BCF≌△ACE，BF=AE．
∵∠CFE=60°，
∴∠AFE=360°-150°-60°150°，
作EM⊥AF于M．（下图），
在Rt△EFM中，∵∠EFM=30°，
∴EM=$\frac{1}{2}$EF，FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，
在Rt△AME中，AE²=AM²+EM²，
∴AE²=（AF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF）²+（$\frac{1}{2}$EF）²，
∴AE²=AF²+EF²+$\sqrt{3}$AF•EF，
∵AE=BF，EF=CF，
∴BF²=AF²+CF²+$\sqrt{3}$AF•CF．

点评 此题主要考查几何变换综合问题，熟悉旋转的性质，会在旋转变换中确定全等三角形并会构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．