Question

3．如图，已知线段AB=10，点E在线段AB上运动（不与A、B重合），分别以AE、EB为边在AB的同侧作正方形ACDE和等边△BEF，连接DF，则DF²的最小值为50-25$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设AE=2x，则BE=10-2x，根据正方形和等边三角形的性质，得到∠AED=90°，∠BEF=60°，过D作DG⊥EF于G，解直角三角形得到FG=10-2x-$\sqrt{3}$x，根据勾股定理得到DF²=（8+4$\sqrt{3}$）x²-20（$\sqrt{3}$+2）x+100，于是得到结论．

解答 解：设AE=2x，则BE=10-2x，
在正方形ACDE和等边△BEF中，
∵∠AED=90°，∠BEF=60°，
∴∠DEF=30°，
过D作DG⊥EF于G，
∴DG=x，EG=$\sqrt{3}$x，
∴FG=10-2x-$\sqrt{3}$x，
∴DF²=DG²+FG²=x²+（10-2x-$\sqrt{3}$x）²，
∴DF²=（8+4$\sqrt{3}$）x²-20（$\sqrt{3}$+2）x+100，
∵8+4$\sqrt{3}$＞0，
∴DF²的最小值=50-25$\sqrt{3}$，
故答案为：50-25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．