Question

18．如图，直线y=-$\frac{2}{3}$x+m分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（6，0）．
（1）用含m的代数式表示点A的横坐标$\frac{3}{2}$m；
（2）若直线AB上存在点P，使∠OPC=90°，则m的取值范围是2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）令y=0，则0=-$\frac{2}{3}$x+m，解得x=$\frac{3}{2}$m，即可求得点A的横坐标为$\frac{3}{2}$m；
（2）要使∠OPC=90°，则直线AB必经过以OC为直径的圆，证△AOB∽△APM，得出$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，即可求出OA的值，进一步得出m的取值范围．

解答 解：（1）令y=0，则0=-$\frac{2}{3}$x+m，
解得x=$\frac{3}{2}$m，
∴点A的横坐标为$\frac{3}{2}$m；
故答案为$\frac{3}{2}$m；

（2）要使∠OPC=90°，则直线AB必经过以OC为直径的圆，
如图直线AB切圆于P，∵点C（6，0），
∴OC=6，
∴OM=PM=3，
∵直线y=-$\frac{2}{3}$x+m，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠OAB=∠PAM，∠AOB=∠APM=90°，
∴△AOB∽△APM，
∴$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴PA=$\frac{9}{2}$，
∴MA=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$，
∴OA=3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$或3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$，
∵点A的横坐标为$\frac{3}{2}$m；
∴$\frac{3}{2}$m=3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$或3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$，
∴m=2+$\sqrt{13}$或2-$\sqrt{13}$，
∴m的取值范围是2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$．
故答案为2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．