Question

12．课堂上老师讲解了比较$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$和$\sqrt{15}$-$\sqrt{14}$大小的方法，观察发现11-10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数：$\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$=$\sqrt{11}$+$\sqrt{10}$，而$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$=$\sqrt{15}$+$\sqrt{14}$．因为$\sqrt{15}$+$\sqrt{14}$＞$\sqrt{11}$+$\sqrt{10}$，所以$\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{14}}$＞$\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$，于是，必有$\sqrt{15}$-$\sqrt{14}$＜$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$，根据上面介绍的方法，你能知道$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$与$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$谁大谁小吗？请你开动脑筋，并设计一种方法来比较$\sqrt{8}$+$\sqrt{3}$与$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$的大小．（不能用计算器哟！）

Answer 1

分析 直接利用倒数的定义结合例题求出两数的倒数，进而比较得出答案；再利用两数平方进而比较得出答案．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}$=$\frac{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}{（\sqrt{2015}-\sqrt{2014}）（\sqrt{2015}+\sqrt{2014}）}$=$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2014}$，
可得：$\frac{1}{\sqrt{2014}-\sqrt{2013}}$=$\sqrt{2014}$+$\sqrt{2013}$，
∵$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2014}$＞$\sqrt{2014}$+$\sqrt{2013}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}$＞$\frac{1}{\sqrt{2014}-\sqrt{2013}}$，
∴$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$＜$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$；

∵（$\sqrt{8}$+$\sqrt{3}$）²=8+3+2$\sqrt{24}$=11+2$\sqrt{24}$，
（$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$）²=6+5+2$\sqrt{30}$=11+2$\sqrt{30}$，
显然$\sqrt{30}$＞$\sqrt{24}$，
所以（$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$）²＞（$\sqrt{8}$+$\sqrt{3}$）²，
又∵$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$＞0，$\sqrt{8}$+$\sqrt{3}$＞0
∴$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{8}$+$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．