Question

5．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，过O作OH⊥AB于点H，已知PH=2OH，OA∥PE．
（1）求证：AB=CD；
（2）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）作OQ⊥CD于Q，根据角平分线的性质得到OH=OQ，根据圆心角、弧、弦之间的关系证明结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠AOP=∠HPO，证明AP=AO=10，设OH=x，根据勾股定理求出x的值，根据垂径定理得到答案．

解答 （1）证明：作OQ⊥CD于Q，
∵PG平分∠EPF，OH⊥AB，OQ⊥CD，
∴OH=OQ，
∴AB=CD；
（2）解：∵PG平分∠EPF，
∴∠QPO=∠HPO，
∵OA∥PE，
∴∠QPO=∠AOP，
∴∠AOP=∠HPO，
∴AP=AO=10，
设OH=x，则PH=2x，AH=2x-10，
由勾股定理得，（2x-10）²+x²=100，
解得x₁=0（舍去），x₂=8，
∴AH=6，
则AB=2AH=12．

点评 本题考查的是垂径定理、角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．