Question

16．如图1，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为（-3，-1）；当x满足：-3＜x＜0或x＞3时，$\frac{k}{x}$≤k′x；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示．
①四边形APBQ一定是平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线关于原点对称求出点B的坐标，结合图象得到$\frac{k}{x}$≤k′x时，x的取值范围；
（2）①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
②过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$关于原点对称，点A的坐标为（3，1），
∴点B的坐标为（-3，-1），
由图象可知，当-3≤x＜0或x≥3时，$\frac{k}{x}$≤k′x，
故答案为：（-3，-1）；-3≤x＜0或x≥3；
（2）①∵双曲线y=$\frac{k}{x}$关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ一定是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
②∵点A的坐标为（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为（1，3），
由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（-1，-3），点B的坐标为（-3，-1），
如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，
则四边形CDEF是矩形，
CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，
则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积-△ACP的面积-△PDB的面积-△BEQ的面积-△AFQ的面积
=36-2-8-2-8
=16．

点评 本题考查的是反比例函数的图形和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称图形的概念和性质以及平行四边形的判定，掌握双曲线是关于原点的中心对称图形、平行四边形的判定定理是解题的关键．