Question

1．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{4}{9}$

Answer 1

分析 延长AM交BC于点D，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设AM=2x，则DM=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：延长AM交BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC．
设AM=2x，则DM=x，
∴AD=3x，
∴AB=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{3x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$x．
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴△ABC∽△AMN，
∴$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AM}{AB}$）²=（$\frac{2x}{2\sqrt{3}x}$）²=$\frac{1}{3}$．
故选B．

点评 本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．