题目内容
18．如图①是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=$\frac{5}{4}$S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象如图②，请你结合这个新图象回答当直线y=x+b（b＜1）与此图象至少有两个公共点时，b的取值范围．
分析 （1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；
（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；
（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．
解答 解：（1）因为M（1，-4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，
所以y=（x-1）2-4=x2-2x-3，
令x2-2x-3=0，
解之得x1=-1，x2=3．
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
（2）在二次函数的图象上存在点P，使S△PAB=$\frac{5}{4}$S△MAB，
设P（x，y），
则S△PAB=$\frac{1}{2}$|AB|×|y|=2|y|
又∵S△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=$\frac{5}{4}$，
即y=±5．
∵二次函数的最小值为-4，
∴y=5．
当y=5时，x=-2或x=4．
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）
（3）①如图，当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，
可得b=1，又因为b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=-3，
由图可知，符合题意的b的取值范围为-3＜b＜1时，直线y=x+b与此图象有两个公共点．
②当直线在M′上方时也符合题意，此时b＞$\frac{13}{4}$．
故b的取值范围为：-3＜b＜1或b＞$\frac{13}{4}$．
点评 本题考查了由函数图象确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．
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