Question

6．在平面直角坐标系中，如图1，点A、B、E在坐标轴上，已知点B、E关于x轴对称，且点E在线段AB的垂直平分线上．
（1）求∠OBA的度数；
（2）如图2，点C在OA上，OC=OB，点C、点F关于AB轴对称，①请画出点F，②记点F的横坐标为m，AC=a，AB=b，请探究m、a、b之间的数量关系，并给出证明；
（3）如图3，在（2）的基础上，点D在OC上，满足∠OBD=∠ABC，求证：CD=CA．

Answer 1

分析 （1）连接AE，根据线段垂直平分线的性质证明△ABE是等边三角形，得到答案；
（2）①根据题意作图即可；
②连接AF，作FH⊥AC于H，证明△ACF是等边三角形，根据等边三角形的性质计算即可；
（3）证明△BDC∽△ADB，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）连接AE，
∵OB=OE，OA⊥BE，
∴OA是BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA=EB，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠OBA=60°；
（2）①如图所示，点F即为所求；
②连接AF，作FH⊥AC于H，
∵点C、点F关于AB轴对称，
∴AF=AC，
∵∠OBA=60°，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACF=60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，
∵∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b，
∴OC=OB=$\frac{1}{2}$b，
∴m=$\frac{1}{2}$（b-a）；
（3）∵∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB，
∵OC=OB，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，又∠OBD=∠ABC，
∴∠DBC=∠DAB，又∠BDC=∠ADB，
∴△BDC∽△ADB，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=CA．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．