问题原型:如图①.在等腰直角三角形ABC中.∠ACB=90°.BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD.连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE.易证△ABC≌△BDE.从而得到△BCD的面积为$\frac{1}{2}{a^2}$．初步探究:如图②.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE，
易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为$\frac{1}{2}{a^2}$．
初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．
简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）

分析初步探究：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论；
简单运用：如图③，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=$\frac{1}{2}$BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．

解答解：初步探究：△BCD的面积为$\frac{1}{2}{a^2}$．
理由：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°．
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠BED}\\{∠A=∠DBE}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=a．
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DE
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}{a^2}$；
简单应用：如图③，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠E}\\{∠FAB=∠EBD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF=DE=$\frac{1}{2}$a．
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DE，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•a=$\frac{1}{4}$a²．
∴△BCD的面积为$\frac{1}{4}{a^2}$．