Question

3．观察下列方程的特征及其解的特点；
①x+$\frac{2}{x}$=-3的解为x₁=-1，x₂=-2．
②x+$\frac{6}{x}$=-5的解为x₁=-2，x₂=-3．
③x+$\frac{12}{x}$=-7的解为x₁=-3，x₂=-4；
解答下列问题；
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为x+$\frac{20}{x}$=-9，其解为x₁=-4，x₂=-5．
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为x+$\frac{{n}^{2}+n}{x}$=-2n-1，其解为x₁=-n，x₂=-n-1．
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-2（n+2）（其中n为正整数）的解．

Answer 1

分析 （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．

解答 解：（1）x+$\frac{20}{x}=-9$，其解为：x₁=-4，x₂=-5，
故答案为：x+$\frac{20}{x}$=-9，x₁=-4，x₂=-5；
（2）x+$\frac{{n}^{2}+n}{x}$=-（2n+1），其解为：x₁=-n，x₂=-n-1，
故答案为：x+$\frac{{n}^{2}+n}{x}$=-（2n+1），x₁=-n，x₂=-n-1；
（3）x+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-2（n+2）
x+3+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-2（n+2）+3
（x+3）+$\frac{{n}^{2}+n}{x+3}$=-（2n+1）
∴x+3=-n或x+3=-（n+1）
即：x₁=-n-3，x₂=-n-4．

点评 此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．