Question

4．如图，点E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE．点F为线段DE上一点，连接AF、BF，AF正好平分∠DFB．
（1）求证：∠ABF-∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DFB；
（2）若BC=$2\sqrt{5}$，tan∠DEB=2，求S_△BEF．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BF于H，AG⊥DE于G，由角平分线和正方形的性质得到AG=AH，AB=AD，证得三角形全等，得到∠ABH=∠ADG，因为∠ADG=∠DAF+∠AFD，所以得到结论∠ABF-∠DAF=∠DFA=$\frac{1}{2}$∠DFB；
（2）由锐角三角函数得到tan∠DEB=2，$\frac{DC}{EC}$=$\frac{BF}{EF}$=2，求得EC=$\sqrt{5}$BE=$3\sqrt{5}$，BF=2EF，由勾股定理解得EF=3，BF=6，得到S_△EFB=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$×6×3=9．

解答 （1）证明：作AH⊥BF于H，AG⊥DE于G，
∵∠AFG=∠AFB，
∴AG=AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在R_t△ABH与R_t△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AH=AG}\end{array}\right.$，
∴R_t△ABH≌R_t△ADG，
∴∠ABH=∠ADG，
∵∠ADG=∠DAF+∠AFD，
∴∠ABF-∠DAF=∠DFA=$\frac{1}{2}$∠DFB，
（2）解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABF+∠FBE=∠GDA+∠CDE=90°，
∴∠EBF=∠CDE，
∴∠DFB=∠DCB=90°，
∵tan∠DEB=2，∴$\frac{DC}{EC}$=$\frac{BF}{EF}$=2，∴EC=$\sqrt{5}$BE=$3\sqrt{5}$，BF=2EF，
∴EF²+（2EF）²=${（3\sqrt{5）}}^{2}$，
EF=3，BF=6，
∴S_△EFB=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$×6×3=9

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，辅助线的作法是解题的关键．