Question

11．如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE=BF=CG=DH=xcm，四边形EFGH的面积为ycm²，
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）求四边形EFGH的面积为3cm²时的x值；
（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm²吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问题；
（2）代入y值，解一元二次方程即可；
（3）将面积y=2x²-4x+4改写成完全平方的形式，可得知y≥2，故不能为cm²．

解答 解：（1）∵在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°，
∴HE²=AE²+AH²=x²+（2-x）²=2x²-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE²=2x²-4x+4，
∵AE，AH均为正值，
∴0＜x＜2，
故y关于x的函数表达式为：y=2x²-4x+4，自变量x的取值范围0＜x＜2．
（2）将y=3代入y=2x²-4x+4中，整理得：2x²-4x+1=0，
解得：x₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故四边形EFGH的面积为3cm²时的x的值为1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）四边形EFGH的面积为：y=2x²-4x+4=2（x-1）²+2，（0＜x＜2），
∵（x-1）²≥0，
∴y≥2，
四边形EFGH的面积不能为1.5cm²．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只要将关系式转化成完全平方的形式，即可看出结论．