题目内容
11．（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．
分析 （1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=6，根据勾股定理可得DE=8，由题可得DC=DE=8，则有BC=10-8=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．
解答 （1）证明：如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；
理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6
∴DE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10-8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=12-t，
∴t（12-t）=10×2，
∴t=2或t=10，
∴t的值为2秒或10秒．
点评 本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D是边AC上一点（D与A，C不重合），过点A作AE垂直AC，且满足AE=CD．交边AB于点F．
如图所示，D是△ABC的边BC上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC=24°．
