Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象交于A、B两点，与x轴交于点C；点A在第一象限，点B的坐标为（-6，n）；E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=$\frac{4}{3}$．
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数的表达式；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥x轴于点H，根据tan∠AOE=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{4}{3}$，设OH=3k，AH=4k，即A的坐标为（3k，4k），代入反比例函数解析式即可求出A点的坐标；
（2）求出B点的坐标，把A、B的坐标代入y=kx+b即可求出k、b的值，即可求出答案；
（3）求出OC，根据三角形面积公式求出即可．

解答 解：（1）过A作AH⊥x轴于点H，

在Rt△AOH中，∵tan∠AOE=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{4}{3}$，
∴设OH=3k，AH=4k，
即A的坐标为（3k，4k），其中k＞0，
∵A在y=$\frac{12}{x}$图象上，
∴4k=$\frac{12}{3k}$，
解得：k=1（负数舍去），
∴A的坐标为（3，4）；

（2）∵点B（-6，n）在y=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴代入得：n=-2，
即B的坐标为（-6，-2），
把A、B的坐标代入y=kx+b（k≠0）得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-6k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=2，
∴一次函数的表达式是y=$\frac{2}{3}$x+2；

（3）在y=$\frac{2}{3}$x+2中令y=0，则x=-3，
即C（-3，0），
所以S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×|-3|×4+$\frac{1}{2}$×|-3|×|-2|=9，
即△AOB的面积是9．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出一次函数的解析式是解此题的关键．