Question

如图①，在矩形ABCD中，AB＞BC，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP．
（1）如图②，若AB=8，AD=4，当M点与D点重合，求BE；
（2）如图③，当M为AD的中点，求证：EP=AE+DP．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：（1）设BE=x，由折叠得DE=BE=x，AE=8-x．根据勾股定理得出x²=（8-x）²+4²，求出即可；
（2）取EP的中点Q，连接MQ，根据梯形的中位线求出AE+DP=2MQ，根据直角三角形性质得出EP=2MQ，即可得出答案．

解答：解：（1）设BE=x，由折叠得DE=BE=x，AE=8-x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
由勾股定理，得x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
即BE=5；

证明：（2）取EP的中点Q，连接MQ，
∵M为AD的中点，
∴AE+DP=2MQ，
由折叠得，∠EMP=∠B=90°，
∴EP=2MQ，
∴EP=AE+DP．

点评：本题考查了勾股定理，折叠的性质，直角三角形斜边上的中线性质，梯形的中位线，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．