Question

2．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点，∠COB=60°，点D是OC的中点，连接BD，BD的延长线交半圆O于点E，连接OE，EC，BC．
（1）求证：△BDO≌△EDC．
（2）若OB=6，则四边形OBCE的面积为18$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）证明方法比较多，根据全等三角形判定方法判定即可．
（2）先证明四边形OBCE是菱形，求出对角线的长即可求面积．

解答 （1）证明：∵∠COB=60°且OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，∠OBC=60°，
又∵点D是OC的中点，
∴OD=CD，∠OBD=$\frac{1}{2}∠OBC$=30°，
又∵点C是半圆上一点且∠COB=60°，
∴∠CEB=$\frac{1}{2}∠COB$=30°，
∴∠OBD=∠CEB，
在△BDO与△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBD=∠CED}\\{∠BDO=∠EDC}\\{OD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△EDC（AAS）；
（2）∵∴△BDO≌△EDC，
∴EC=OB，
∵△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=EC=EO，
∴四边形OBCE是菱形，
∴S_菱形OBCE=$\frac{1}{2}$•OC•EB=$\frac{1}{2}$•6•6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、菱形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．