Question

12．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AD=3cm，求AB，AC的长．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠BAD=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，得出OA=OD，得出∠AOB=60°，证出△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OA=AB，由三角函数求出AB，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OA=AB，
∴AB=$\frac{AD}{tan60°}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$（cm），
∴OA=$\sqrt{3}$cm，
∴AC=2OA=2$\sqrt{3}$cm．．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．