Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠．
（1）求证：△ABE≌△C₁DE；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和翻折的性质可知∠A=∠C₁，AB=C₁D，依据AAS可证明△ABE≌△C₁DE；
（2）由全等三角形的性质可知：BE=ED，设DE=BE=x，则AE=4-x，在Rt△AEB中，利用勾股定理列出关于x的方程求解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，∠A=∠C=90°．
由翻折的性质可知：∠C₁=∠C，C₁D=DC．
∴∠A=∠C₁，AB=C₁D．
在△ABE和△C₁DE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠{C}_{1}}\\{∠AEB=∠{C}_{1}ED}\\{AB={C}_{1}D}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△C₁DE．
（2）∵△ABE≌△C₁DE，
∴BE=ED．
设DE=BE=x，则AE=4-x．
在Rt△AEB中，由勾股定理可知：BE²=AB²+AE²，即x²=3²+（4-x）²，解得：x=$\frac{25}{8}$
S_△EDB=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{25}{8}$=$\frac{75}{16}$．

点评 本题主要考查的翻折的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，在Rt△AEB中，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．