Question

15．如图，已知直线y=$\frac{4}{3}$x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上找一动点P，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 6+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• D． 9$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图过点C作CH⊥AB于H，延长HC交⊙C于P′．点P与P′重合时，△PAB的面积最大，求出P′H、AB的值即可解决问题．

解答 解：如图过点C作CH⊥AB于H，延长HC交⊙C于P′．

∵直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-4，
∴直线CH的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-4}\\{y=-\frac{4}{3}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{12}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
∴CH=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}}$=3，P′H=3+1=4，
∵A（5，0），B（0，-4），
∴AB=5，
∵点P与P′重合时，△PAB的面积最大，
∴△PAB面积的最大值为$\frac{1}{2}$×5×4=10，
故选A．

点评 本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点P的位置确定最大值，属于中考常考题型．