Question

7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）如果△DEC为等边三角形，求矩形长和宽的比是多少．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再证明OD=OC即可解决问题；
（2）只要证明△ODC是等边三角形即可解决问题；

解答 （1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB=OC=OA，
∴四边形OCED是菱形．

（2）解：∵△CDE是等边三角形，四边形OCED是菱形，
∴CE=DE=DC=OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴$\frac{BC}{CD}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴矩形长和宽的比是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．