Question

6．已知：如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD交于点P、Q，得到四边形MNQP．
此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请先在下列图中补全他的证明思路，并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法要证?MNQP是菱形，只要证MN=NQ即可．

解答 （1）证明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH=$\frac{1}{2}$∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH=$\frac{1}{2}$（∠BEF+∠DFE）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH=$\frac{1}{2}$（∠AEF+∠BEF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠GEH=90°，
∴四边形EGFH是矩形；
（2）解：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，
要证?MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH．
故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH；再证出NG=NF，即可得证．
理由如下：∵MN∥EF，PQ∥EF，
∴∠MGE=∠GEF，MN∥PQ，
∵AB∥CD，
∴四边形MNQP是平行四边形，
∴∠GME=∠FQH，
由（1）得：∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，GE=FH，
∴∠MGE=∠QFH，
在△MGE和△QFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GME=∠FQH}&{\;}\\{∠MGE=∠QFH}&{\;}\\{GE=FH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MGE≌△QFH（AAS），
∴GM=FQ，
∵∠MGE=∠QFH，∠EGF=∠HFG=90°，
∴∠NGF=∠NFG，
∴NG=NF，
∴MN=NQ，
∴四边形MNQP是菱形．

点评 此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱形的方法是解题关键．