Question

4．已知，在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁A₂与正方形A₂B₂C₂A₃是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{2}$，点A₁，A₂，A₃在x轴上，延长A₃C₂交射线OB₁于点B₃，以A₃B₃为边长作正方形A₃B₃C₃A₄；延长A₄C₃交射线OB₁于点B₄，以A₄B₄为边长作正方形A₄B₄C₄A₅…，若OA₁=2，则正方形A_nB_nC_nA_n+1的面积为（　　）

• A． 2n
• B． 2ⁿ
• C． 2ⁿ⁺¹
• D． 4ⁿ

Answer 1

分析 根据已知条件得到$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质得到OA₁=2，求得OA₂=4，得到A₁A₂=2，求得正方形A₁B₁C₁A₂的面积=2×2=4，推出∠B₁OA₁=45°，得到OA₂=A₂B₂=4，求得正方形A₂B₂C₂A₃的面积=4×4=4²，根据等腰直角三角形的性质得到OA₃=A₃B₃=8，求得正方形A₃B₃C₃A₄的面积=8×8=64=4³，于是得到结论．

解答 解：∵正方形A₁B₁C₁A₂与正方形A₂B₂C₂A₃是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵A₁B₁⊥x轴，A₂B₂⊥x轴，
∴A₁B₁∥A₂B₂，
∴OA₁B₁∽△OA₂B₂，
∴$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA₁=2，
∴OA₂=4，
∴A₁A₂=2，
∴正方形A₁B₁C₁A₂的面积=2×2=4，
∵OA₁=A₁A₂=A₁B₁=2，
∴∠B₁OA₁=45°，
∴OA₂=A₂B₂=4，
∴正方形A₂B₂C₂A₃的面积=4×4=4²，
∵A₃B₃⊥x轴，
∴OA₃=A₃B₃=8，
∴正方形A₃B₃C₃A₄的面积=8×8=64=4³，
…
∴正方形A_nB_nC_nA_n+1的面积=4ⁿ，
故选D．

点评 本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．