Question

如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′．
（1）求点D′刚好落在对角线AC上时，线段D′C的长；
（2）求点D′刚好落在线段BC的垂直平分线上时，DE的长；
（3）求点D′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）如图1，求出AC的长度，即可解决问题．
（2）如图2，证明D′D=AD′=AD，此为解决问题的关键性结论；运用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3或4，类比（2）中的解法，借助勾股定理，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=5，由勾股定理求得AC=

89

；
∵点A、D′、C在同一直线上，
∴D′C=AC-AD′=AC-AD=

89

-5．
（2）如图2，连接D′D，
∵点D′在BC的垂直平分线上，
∴点D′在AD的垂直平分线上，
∴D′D=AD′=AD；
设DE为x，易得AE=2x，
由勾股定理得：（2x）²-x²=5²，
∴x=

5

3

3

．
（3）分两种情况讨论：
①当点D′在矩形内部时，如图3，连接D′B，
∵点D′在AB的垂直平分线上，
∴AN=4；
∵AD′=5，由勾股定理得D′N=3，
∴D′M=2；设DE为y，
∴EM=4-y，D′E=y；
在△EMD′中，由勾股定理得：y²=（4-y）²+2²，
∴y=

5

2

，即DE的长为

5

2

．
②当点D′在矩形外部时，如图4，连接D′B，
同①的方法可得D′N=3，
∴D′M=8，设DE为z，
∴EM=z-4，D′E=z，
在△EMD′中，由勾股定理得：z²=（z-4）²+8²，
∴z=10，即DE的长为10．
综上所述，点D′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为

5

2

或10

点评：该题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．