Question

3．在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，过点A分别作BD，CE的垂线，垂足分别为点M，N，连接MN．求证：MN=$\frac{1}{2}（AB+AC-BC）$．

Answer 1

分析 延长AM、AN交BC于F、G．根据ASA发现两对全等三角形，根据全等三角形的性质得到MN是三角形AFG的中位线，同时得到FG的长，根据三角形的中位线定理即可计算．

解答 解：延长AM、AN交BC于F、G．

∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，过点A分别作BD，CE的垂线，垂足分别为点M，N，
∴∠ABM=∠FBM，BM=BM，∠AMB=∠FMB，
在△AMB和△FMB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠FBM}\\{BM=BM}\\{∠AMB=∠FMB}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△FBM，
∴AM=FM，BF=AB．
同理AN=NG，CG=AC．
∴MN=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）．

点评 此题综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，解此题的关键是求出AN=NG和AM=MF．