Question

13．如图，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，已知：∠MAN=30°，AM=AN，△AMN的面积为1．
（1）求∠BAM的度数；
（2）求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABM≌△ADN（HL），推出∠BAM=∠DAN，由∠MAN=30°，∠BAD=90°，即可推出∠BAM=30°；
（2）作MH⊥AN于H．设BM=x，则AM=AN=2x，MH=x，根据$\frac{1}{2}$•AN•MH=1，列出方程即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵AM=AN，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN（HL），
∴∠BAM=∠DAN，
∵∠MAN=30°，∠BAD=90°，
∴∠BAM=30°．

（2）作MH⊥AN于H．设BM=x，则AM=AN=2x，MH=x，
∵$\frac{1}{2}$•AN•MH=1，
∴$\frac{1}{2}$•2x•x=1，
解得x=1或-1（舍弃），
∴AB=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，
∴正方形ABCD的边长为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的30度角的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．