Question

16．如图，在平面坐标系中，点A（2，1）、B（6，2）、C（6，5）、D（2，4）．
（1）连接AC，BD交于点E，求E的坐标；
（2）是否存在过点M（-2，0）的直线，将四边形ABCD的面积平分？若存在，请求出直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法求出直线AB的解析式，同理得出直线CD的解析式，得出AB∥CD，同理：AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得出点E为AC的中点，即可得出点E的坐标；
（2）由平行四边形的对称性得出直线EM把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，由待定系数法求出直线EM的解析式即可．

解答 解：（1）如图1所示：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（2，1）、B（6，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$；
同理：直线CD的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{7}{2}$，
∴AB∥CD，
同理：AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CE，
即E为AC的中点，
∵点A（2，1）、C（6，5），
∴点E的坐标为（4，3）；
（2）存在过点M（-2，0）的直线，将四边形ABCD的面积平分，直线为EM，直线EM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴E为平行四边形ABCD的对称中心，
过E的直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，如图2所示：
设直线EM的解析式为：y=kx+b，
把点E（4，3），M（-2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴直线EM的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的对称性；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．