Question

1．如果关于x的方程（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）=0（其中a，b，c均为正数）有两个相等的实数根，证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．

Answer 1

分析 首先整理方程得出3x²+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=0，进一步利用根的判别式等于0，得出a、b、c的关系判断即可．

解答 证明：原方程可以整理成3x²+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴[2（a+b+c）]²-4×3×（ab+bc+ac）=0，
整理得：4a²+4b²+4c²-4ab-4bc-4ac=0
2（a-b）²+2（b-c）²+2（a-c）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，
∴a=b=c，
∴三角形为等边三角形．

点评 此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，关键是根据判别式和已知条件求出a，b，c的关系．