Question

16．如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，连接AD，在AD上取一点E，连接BE交AC于F，若AF+CD=AD，DE=2，AF=4，则AD长为7．

Answer 1

分析 由条件“AF+CD=AD”可知属于截长补短全等型，故延长CA至点G使GA=CD，连接GB，易知△GBA≌△DAC．结合该全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定得到△BGF为等腰三角形，又有等腰三角形的性质推知AB=AE．设AD=a，则BG=a，BA=AE=a-2，GA=GF-AF=BG-AF=a-4．作BH⊥AC，垂足为H，求得a的值即可．

解答 解：如图，延长CA至点G使GA=CD，连接GB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠GAB=∠DCA=120°，
∴在△GBA与△DAC中，$\left\{\begin{array}{l}{GA=DC}\\{∠GAB=∠DCA}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△DAC（SAS），
∴BG=AD，
∵AF+CD=AD，AF+GA=GF，
∴GF=AD，
∴BG=GF．
∴∠GBF=∠GFB．
又∵∠GBA=∠CAD，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE．
设AD=a，则BG=a，AB=AE=a-2，GA=GF-AF=BG-AF=a-4，
又∵∠GAB=120°，
∴作BH⊥AC，垂足为H，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$（a-2），BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-2），GH=$\frac{1}{2}$a-5，
∵BG²=BH²+GH²，
∴a²=$\frac{3}{4}$（a-2）²+（$\frac{1}{2}$a-5）²
求a=7，即AD=7．
故答案是：7．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及勾股定理．解题的关键是由条件“AF+CD=AD”作出辅助线．