Question

3．已知函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（12，0）、点B，与函数y=x的图象交于点E，点E的横坐标为3，求：
（1）直线AB的解析式；
（2）在x轴有一点F（a，0）．过点F作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b和函数y=x于点C、D，若以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将x=3代入y=x中求出y值，即得出点E的坐标，结合点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）由点F的坐标可表示出点C、D的坐标，由此即可得出线段CD的长度，根据平行四边形的判定定理即可得出CD=OB，即得出关于a的方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）把x=3代入y=x，得y=3，
∴E（3，3），
把A（12，0）、E（3，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=12k+b}\\{3=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+4．
（2）由题意可知C、D的横坐标为a，
∴C（a，-$\frac{1}{3}$a+4），D（a，a），
∴CD=|a-（-$\frac{1}{3}$a+4）|=|$\frac{4}{3}$a-4|．
若以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
则CD=OB=4，即|$\frac{4}{3}$a-4|=4，
解得：a=6或a=0（舍去）．
故：当以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，a的值为6．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据CD=OB得出关于a的方程．本体属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的判定找出相等的线段是关键．