Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAC，Rt△OA₁C₁，Rt△OA₂C₂，…的斜边都在坐标轴上，∠AOC=∠A₁OC₁=∠A₂OC₂=∠A₃OC₃=…=30°．若点A的坐标为（3，0），OA=OC₁，OA₁=OC₂，OA₂=OC₃，…则依此规律，点A₂₀₁₅的纵坐标为（　　）

• A． 0
• B． $-3×{（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）^{2015}}$
• C． $-3×{（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）^{2014}}$
• D． $3×{（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）^{2015}}$

Answer 1

分析 根据题意确定出A₁，A₂，A₃，A₄…纵坐标，归纳总结得到点A₂₀₁₅的纵坐标与A₃纵坐标相同，即可得到结果．

解答 解：∵点A₁的坐标为（3，0），OA₁=OC₂=3，
在Rt△OA₂C₂中，∠A₂OC₂=30°，
设A₂C₂=x，则有OA₂=2x，根据勾股定理得：x²+9=4x²，
解得：x=$\sqrt{3}$，即OA₂=2$\sqrt{3}$，
∴A₂纵坐标为2$\sqrt{3}$，
由OA₂=OC₃=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OA₃C₃中，∠A₃OC₃=30°，
设A₃C₃=y，则有OA₃=2y，根据勾股定理得：y²+12=4y²，
解得：y=2，即OA₃=4，
∴A₃纵坐标为0，
∵2015÷4=503…3，
∴点A₂₀₁₅的纵坐标与A₃纵坐标相同，为-3×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵．
故选：B．

点评 此题考查了规律型：点的坐标，判断出点A₂₀₁₅的纵坐标与A₃纵坐标相同是解本题的关键．