Question

17．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于 D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：
①AE=2BD；      ②DC=DB；      ③AB-AC=CE；     ④CE=2FC；
其中正确的结论有①②③④．（只需要填写序号）

Answer 1

分析 注意到AD具备“两种功能”：角平分线、垂线；因此，延长BD、AC交于点G，则三角形ABG就是等腰，从而AB=AG，BD=DG，四个个判断不言而喻．

解答 解：①延长BD、AC交于点G，如图1，

∵AD⊥BD，AD平分∠CAB，
∴∠DAG=∠DAB，
∵∠G+∠DAG=90°，∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠G=∠ABD，
∴AG=AB，DG=DB，
∵∠BCG=90°，
∴CD=BD=DG，故②正确，
∵AC⊥BC，
∴∠CAE+∠CEA=∠DEB+∠DBE=90°，
∴∠CAE=∠DBE，
在△CAE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠BCG}\\{∠CAE=∠CBG}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△CBG（AAS），
∴AE=BG=2BD，CE=CG，故①正确；
②过点E作EH⊥AB于H，如图2，

∵∠ABC=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
∵AE平分∠CAB，
∴EH=CE，
∴BH=CG，
∴AB-AC=CE，故③正确；
③如图1，
∵DF⊥AC，
∴DF∥BC，
∵BD=DG，
∴CF=FG，
∴CE=2FC，故④正确．
故答案为①②③④．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一、中位线等知识点，难度适中．解答本题的突破口是发现AD是“三线”，如果有某条线既是角平分线又是垂线，那么以这条线为对称轴一定“隐藏”着一个等腰三角形，通过辅助线把等腰三角形暴露出来，问题往往可以迎刃而解．