Question

15．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC₁、BD₁，AC₁与BD₁交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．请直接写出AC₁ 与BD₁的数量关系和位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC₁与BD₁的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD₁，设AC₁=kBD₁，请直接写出k的值和AC₁²+（kDD₁）²的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，则OC₁=OD₁，利用等角的补角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，然后根据“SAS”可证明△AOC₁≌△BOD₁；由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，则∠APB=90°所以AC₁⊥BD₁；
（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，则OC₁=OA，OD₁=OB，利用等角的补角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，加上$\frac{O{C}_{1}}{O{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$，根据相似三角形的判定方法得到△AOC₁∽△BOD₁，得到∠OAC₁=∠OBD₁，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，则∠APB=90°，所以AC₁⊥BD₁；然后根据相似比得到$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
（3）与（2）一样可证明△AOC₁∽△BOD₁，则$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，所以k=$\frac{1}{2}$；根据旋转的性质得OD₁=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD₁=OB=OD，于是可判断△BDD₁为直角三角形，根据勾股定理得BD₁²+DD₁²=BD²=144，所以（2AC₁）²+DD₁²=144，于是有AC₁²+（kDD₁）²=36．

解答 解：（1）AC₁=BD₁，AC₁⊥BD₁；
理由：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OD₁，∠AOC₁=∠BOD₁=90°+∠AOD₁，
在△AOC₁和△BOD₁中$\left\{\begin{array}{l}{AO=OB}\\{∠AOC1=∠BOD1}\\{OC1=OD1}\end{array}\right.$，
∴△AOC₁≌△BOD₁（SAS）；
∴AC₁=BD₁，
∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，∴∠APB=90°，则AC₁⊥BD₁；
故AC₁ 与BD₁的数量关系是：AC₁=BD₁；AC₁ 与BD₁的位置关系是：AC₁⊥BD₁；

（2）AC₁=$\frac{3}{4}$BD₁，AC₁⊥BD₁．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD．
∵△C₁OD₁由△COD绕点O旋转得到，
∴O C₁=OC，O D₁=OD，∠CO C₁=∠DO D₁．
∴O C₁=OA，O D₁=OB，∠AO C₁=∠BO D₁，
∴$\frac{O{C}_{1}}{OA}$=$\frac{O{D}_{1}}{OB}$．
∴$\frac{O{C}_{1}}{O{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$．
∴△AO C₁∽△BOD₁．
∴∠O AC₁=∠OB D₁．
又∵∠AOB=90°，
∴∠O AB+∠ABP+∠OB D₁=90°．
∴∠O AB+∠ABP+∠O AC₁=90°．
∴∠APB=90°．
∴AC₁⊥BD₁．
∵△AO C₁∽△BOD₁，
∴$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
即AC₁=$\frac{3}{4}$BD₁，AC₁⊥BD₁．

（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC₁∽△BOD₁，
∴$\frac{A{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴k=$\frac{1}{2}$；
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，
∴OD₁=OD，
而OD=OB，
∴OD₁=OB=OD，
∴△BDD₁为直角三角形，
在Rt△BDD₁中，
BD₁²+DD₁²=BD²=144，
∴（2AC₁）²+DD₁²=144，
∴AC₁²+（kDD₁）²=36．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质、旋转的性质；会运用三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质．