Question

4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 1.5

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=$\sqrt{2}$，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，根据勾股定理求出AC，得出OA，再证明△AOE∽△ADC，得出比例式，即可求出AE的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=$\sqrt{2}$，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠ADC，
又∵∠OAE=∠DAC，
∴△AOE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{OA}{AD}$，
即$\frac{AE}{\sqrt{6}}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}$，
∴AE=1.5；
故选：D．

点评 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．