Question

14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆的$\widehat{BC}$上的一点，AD交BC于E．求证：AB²=AD•AE．

Answer 1

分析 连接BE，由条件可得∠AEB=∠ABD，可证得△ABD∽△AEB，可得$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，于是得到结论．

解答 证明：连接BD，如图，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB（同弧所对的圆周角），
∴∠ADB=∠ABC，
在△ABD和△AEB中，∠BAD=∠EAB，∠ABE=∠ADB，
∴△ABD∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
即AB²=AD•AE．

点评 本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定和性质，找到∠ADB=∠ABE是解题的关键．证明线段的积相等，把线段积化成比例证明三角形相似是这类问题的解题思路．