Question

5．已知二次函数y=x²-（2m+1）x+m²的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁＜x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{5}{4}$．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=x+n的图象过点B，求其解析式．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系可知：x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²，然后将$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{5}{4}$，变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{5}{4}$，从而可求得m的值，于是可求得抛物线的解析式；
（2）先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后将点B的坐标代入一次函数的解析式，从而可求得其解析式．

解答 解：（1）由根与系数的关系可知：x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{5}{4}$，即$\frac{2m+1}{{m}^{2}}=\frac{5}{4}$，
解得：m₁=2，m=-$\frac{2}{5}$．
当m=-$\frac{2}{5}$时，△＜0，不合题意．
∴二次函数的解析式为y=x²-5x+4．
（2）令y=0得：x²-5x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=4
∴点B的坐标为（4，0）．
将点B的坐标代入一次函数的解析式得：4+n=0．
解得：n=-4．
∴直线的解析式为y=x-4．

点评 本题主要考查的是求二次函数的解析式、根与系数的关系、根的判别式的应用，利用根与系数的关系得到关于m的方程是解题的关键．