Question

15．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若$\frac{OF}{FD}=\frac{2}{3}$，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=$\sqrt{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；
（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到$\frac{OC}{BD}=\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{BE}=\frac{2}{3}$，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3$\sqrt{3}$，BE=6，在R_t△DAH中，AD=$\sqrt{{AH}^{2}{+DH}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+（2\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC=CG，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CG}$，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴$\frac{OC}{BD}=\frac{OF}{DF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{BE}=\frac{2}{3}$，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°；

（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}∠$EBD=30°，
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴BD=3，DE=3$\sqrt{3}$，BE=6，
∴AE=$\frac{1}{3}$BE=2，
∴AH=1，
∴EH=$\sqrt{3}$，
∴DH=2$\sqrt{3}$，
在R_t△DAH中，AD=$\sqrt{{AH}^{2}{+DH}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+（2\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．