Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=

1

2

x+2与x轴交于点A、与y轴交于点B，与双曲线y=

m

x

交于点C，CD⊥x轴于点D，且S_△ACD=9，若在双曲线上有一点E，使得△EOC是为以O为顶点的等腰三角形，求点E的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：首先求出点A和点B的坐标，设C点的坐标为（a，b），根据S_△ACD=9和点C在直线y=

1

2

x+2上，求出a和b的值，C点的坐标求出，则易求双曲线的解析式为y=

6

x

，故设双曲线上点E坐标为（n，

6

n

），根据△EOC为以点O为顶角的顶点的等腰三角形，由两腰相等，列出等式求出n的值．

解答：解：设C点的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直线y=

1

2

x+2与x轴交于点A、与y轴交于点B、，
∴令x=0，y=2，令y=0，x=-4，
∴点A（-4，0），点B（0，2），
∵点C在直线y=

1

2

x+2上，
∴b=

1

2

a+2…①，
∵S_△ACD=9，
∴

1

2

（a+4）b=9…②，
联立①②解得a=2，b=3，
∴点C坐标为（2，3），
∵双曲线y=

m

x

过点C，
∴m=6，
∴双曲线的解析式y=

6

x

．
设E坐标为（n，

6

n

），
∵△EOC为以点O为顶角的顶点的等腰三角形，
∴OC=OE，
∴

22+32

=

n2+( 6 n )2

，
解得n=±3，
∵点C在第一象限，
∴n=3，
∴E点坐标为（3，2）．

点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及等腰三角形的知识，此题难度不大．