Question

7．如图所示，⊙O内切于△ABC，DE∥BC交AC，AB于点D，E，若△ABC的周长为12，BC=2，求DE的长．（提示：利用切线长定理）

Answer 1

分析 如图，设⊙O与AB、AC相切于点M、N．⊙O与DE相切于点F，⊙O与BC相切于点G．由DE∥BC，推出△AED∽△ABC，推出$\frac{ED}{BC}$=$\frac{8}{12}$，即可解决问题．

解答 解：如图，设⊙O与AB、AC相切于点M、N．⊙O与DE相切于点F，⊙O与BC相切于点G．

则AM=AN，BG=BM，CG=CN，EF=EM，DF=DN，AM=AN，
∵AB+BC+AC=12，BC=2，
∴AM=AN=4，
∴AE+DE+AD=AM+AN=8，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{ED}{BC}$=$\frac{8}{12}$，
∴ED=$\frac{4}{3}$．

点评 本题乘三角形内接圆与内心，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是切线长定理的灵活运用，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．