Question

18．如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D，与BC相切于点E．⊙O交OB于F，连接DF并延长交CB的延长线于G．
（1）求证：∠BFG=∠G；
（2）求EG的长；
（3）求由DG，GE和$\widehat{ED}$所围成图形的面积（阴影面积）．

Answer 1

分析 （1）连接OD．根据切线的性质得到OD⊥AC，则OD∥BC；可得∠ODF=∠G，再结合对顶角相等和等边对等角得到∠BFG=∠BGF．
（2）首先连接OE，由切线的性质，可得四边形ODCE为正方形，则可求得BE与BG的长，继而求得答案；
（3）由阴影部分的面积=直角三角形CDG的面积-（正方形的面积-扇形ODE的面积）．根据等腰直角三角形的性质可求出有关边AB、OD的长，以及圆心角∠DOE的度数．进而可根据扇形的面积和直角三角形的面积求得阴影部分的面积．

解答 解：（1）连接OD，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD；
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC；
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴OD∥GC，
∴∠G=∠ODF；
又∵∠BFG=∠OFD，
∴∠BFG=∠G．

（2）连接OE，
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∵AO=BO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴OD=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3$\sqrt{2}$-3；
∴EG=BE+BG=3$\sqrt{2}$；

（3）∵CG=CB+BG=3$\sqrt{2}$+3；
∴S_阴影=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=$\frac{1}{2}$×3×（3+3$\sqrt{2}$）-（3²-$\frac{1}{4}$π×3²）
=$\frac{9}{4}$π-$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 此题综合考查了切线的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质及扇形的面积计算方法．注意准确作出辅助线是解此题的关键．