Question

18．已知：如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．
（1）试探求∠BCP与∠P的数量关系；
（2）若∠A=30°，则PB与PA有什么数量关系？

Answer 1

分析 （1）由PC为圆O的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP=∠A，再由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系；
（2）由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出∠P的度数，再由PB=BC，AB=2BC，等量代换确定出PB与PA的关系即可．

解答 解：（1）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，
∴∠BCP=∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，2∠BCP=180°-∠P，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$（90°-∠P）；
（2）若∠A=30°，则∠BCP=∠A=30°，
∴∠P=30°，
∴PB=BC，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴PB=$\frac{1}{3}$PA或PA=3PB．

点评 此题考查了切线的性质，内角和定理，圆周角定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．