Question

10．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于点Q；
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可证明△ABC是等边三角形；
（2）通过作辅助线，构造等腰直角三角形求解．

解答 （1）解：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：设正△ABC的高为h，则h=BC•sin60°．
∵$\frac{1}{2}$BC•h=4$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$BC•BC•sin60°=4$\sqrt{3}$，
解得BC=4，
如图1，连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°，
∴OC=$\frac{CE}{cos30°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，
于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°，
如图2，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，
作GH⊥RN，垂足为H．
设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=$\frac{MN}{2}$．
在Rt△GHN中，
NH=GN•cos30°，GH=GN•sin30°，
∴RH=GH，MN=RN•sin45°，
∴cos15°=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
在图中，作OF⊥PC于F，
∴PC=2CF=2OC•cos15°=2$\sqrt{2}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很强的综合性．