Question

14．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图，$\widehat{AB}$所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π ）．

Answer 1

分析 根据题意，由圆的基本性质，可通过作辅助线建立模形，将车棚顶部展开得长方形，利用垂径定理解答．

解答 解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交$\widehat{AB}$于F，如图，
由垂径定理，可知：E是AB中点，F是$\widehat{AB}$中点，
∴EF是弓形高，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，EF=2，
设半径为R米，则OE=（R-2）米，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R²=（R-2）²+（2$\sqrt{3}$）²，
解得R=4，
∵sin∠AOE=$\frac{AE}{OA}$，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=120度．
∴$\widehat{AB}$的长为$\frac{120×4π}{180}$=$\frac{8}{3}$π（m），
∴帆布的面积为$\frac{8}{3}$π×60=160π（平方米）．

点评 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解答本题的关键是把实际问题与数学中的理论知识联系起来，将车棚顶部展开得长方形，然后求其面积．