在正方形ABCD和正方形BEFG中.点A.B.E在同一条直线上.连接DF.且P是线段DF的中点.连接PG.PC．(1)如图1.PG与PC的关系为PG⊥PC.PG=PC,(2)如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG 改为“矩形ABCD和矩形BEFG 其它条件不变.判断PG.PC关系.并证明:(3)如图3.若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG 改� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，PG与PC的关系为PG⊥PC，PG=PC；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，判断PG、PC关系，并证明：
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一条直线上，连接DF．P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°．求$\frac{PG}{PC}$的值．

分析（1）延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根据正方形的性质就可以得出HC=GC，从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论；
（2）如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，根据直角三角形的性质就可以得出PG=PC；
（3）如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，根据菱形的性质可以得出△HCG是等腰三角形，由菱形的内角和可以求出∠PCG=60°，由特殊角的三角函数值就可以求出结论．

解答解：（1）PG⊥PC且PG=PC；
理由：如图1，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
∵在△DHP和△FGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDP=∠GFP}\\{DP=FP}\\{∠DPH=∠FPG}\end{array}\right.$，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴DH=FG，PH=PG，
∴HC=GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH=PG
∴PG⊥PC且PG=PC．
故答案为：PG⊥PC，PG=PC；

（2）如图2，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是矩形，
∴∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP．，
∵在△DHP和△FGP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDP=∠GFP}\\{DP=FP}\\{∠DPH=∠FPG}\end{array}\right.$，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH=PG=$\frac{1}{2}$HG，
∵∠DCB=90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP=$\frac{1}{2}$HG，
∴PG=PC；

（3）如图3，延长GP交CD于H，
∵P是DF的中点，
∴DP=FP，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，
∵在△DHP和△FGP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDP=∠GFP}\\{DP=FP}\\{∠DPH=∠FPG}\end{array}\right.$，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP=GP，DH=FG，
∵CD=CB，FG=GB，
∴CD-DH=CB-FG，
即：CH=CG，
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG∠HCP=∠GCP（等腰三角形三线合一）
∴∠CPG=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠GCP=$\frac{1}{2}$∠DCB=60°，
∴Rt△CPG中，$\frac{PG}{PC}$=$\sqrt{3}$．