题目内容

15．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）经调查，某零售店销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，假设当日零售价不变，当日进的水果全部销售完，毛利润=销售收入-进货成本，请帮助该零售店确定合理的销售价格，使该日获得的毛利润最大，并求出最大毛利润．

分析 （1）直接写出两段函数图象的实际意义：①横坐标为批发量0～70kg，纵坐标为6元/kg；
②横坐标为批发量大于70kg，纵坐标为4元/kg；
（2）资金金额w=批发量×单价，并画出两个正比例函数图象，两函数图象纵标公共的部分即为同样的资金，根据图形数据写出即可；
（3）设出变量，分别计算出两个分段函数日最高销量与零售价之间的函数关系式，根据毛利润=销售收入-进货成本计算出毛利润的函数关系式，并求出最值，对比后写出使该日获得的毛利润最大的合理的销售价格，并计算出最大利润．

解答 解：（1）①表示批发量少于70kg时，批发价为6元/kg；
②表示批发量达到70kg以上时，批发价为4元/kg；
（2）w=$\left\{\begin{array}{l}{6m（m＜70）}\\{4m（m≥70）}\end{array}\right.$，
图象如图2所示，
当m=70时，6m=6×70=420，4m=4×70=280，
∴资金金额在280≤w＜420时，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）设销售价格为x元/kg，日最高销量为ykg，毛利润为w元，
当6≤x≤10时，设解析式为：y=kx+b，
把（6，80）、（10，60）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=80}\\{10k+b=60}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=110}\end{array}\right.$，
∴y=-5x+110，
当70≤y≤80时，w=（-5x+110）（x-4）=-5x2+130x-440=-5（x-13）2+405，y随x的增大而增大，所以当x=8时，有最大利润为：w=-5（8-13）2+405=280，
当60≤y＜70时，w=（-5x+110）（x-6）=-5x2+140x-660=-5（x-14）2+320，y随x的增大而增大，所以当x=10时，有最大利润为：w=-5（10-14）2+320=240，
当10＜x≤14时，同理求出解析式为：y=-10x+160，
∴w=（-10x+160）（x-6）=-10x2+220x-960=-10（x-11）2+250，当x=11时，w有最大值为：250，
综上所述：当x=8时，有最大利润为280元，
则该零售店销售价格定为8元时，该日获得的毛利润最大，最大利润为280元．

点评 本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，比较复杂；首先要明确①销售收入=日销量×销售单价，②毛利润=销售收入-进货成本，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，对于二次函数的最值问题，可以利用配方法求顶点坐标，并根据自变量的取值确定其最大值．

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