Question

10．图a是一个长2m，宽2n的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图b拼成一个正方形．
（1）图b中的阴影部分的面积表示为（m+n）²-4mn，并且有（m+n）²，（m-n）²，mn之间的等量关系为（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（2）利用（1）的结论，思考：若x+y=-2，xy=-1.25，则x-y=±3；
（3）观察图c，利用图中表述的代数恒等式，思考：若方程2x²+3xy+y²=0（y≠0），则$\frac{x}{y}$=-1或-$\frac{1}{2}$；
（4）用图c中三个阴影图形，每个至少用一次，拼成一个面积为2m²+5mn+2n²长方形（图形之间不重叠无缝隙）画出图形（尽可能根原图一样标准并标出此长方形的长和宽）

Answer 1

分析 （1）阴影部分的面积=大正方形面积-4个长方形面积得出结论；
（2）代入（1）式计算即可；
（3）利用图b分解因式，解方程；
（4）仿照（3）画图，利用面积得出边长．

解答 解：（1）图b中的阴影部分的面积表示为：（m+n）²-4mn，还可以表示为：（m-n）²，
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn，
故答案为：（m+n）²-4mn，（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（2）（x-y）²=x²-2xy+y²，
=（x+y）²-4xy，
=（-2）²-4×（-1.25），
=9，
∴x-y=±3，
故答案为：±3；
（3）由图c得：（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²，
2x²+3xy+y²=0，
（2x+y）（x+y）=0，
2x+y=0或x+y=0，
x=-$\frac{1}{2}$y或x=-y，
当x=-$\frac{1}{2}$y时，$\frac{x}{y}$=-$\frac{1}{2}$，
当x=-y时，$\frac{x}{y}$=-1，
故答案为：-1或-$\frac{1}{2}$；
（4）如图d，长方形面积为：（2m+n）（m+2n）=2m²+5mn+2n²．

点评 本题是完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形的面积对完全平方公式做出几何解释．